、
兩相信號的相位先后，可判斷光電碼盤的正、反轉，以得到待測裝置轉向。MATLAB是Math Works公司開發的，目前國際上最流行，應用最廣泛的科學與工程計算軟件。MATLAB又稱為“矩陣實驗室”，其強項就是高效的矩陣計算。MATLAB集成了二維和三維圖形功能,以完成相應數值可視化的工作，并且提供了一種交互式的高級編程語言—M語言，利用M明天。語言可以通過編寫腳本或者函數文件實現用戶自己的算法。
Simulink是基于MATLAB的框圖設計環境，可以用來對各種動態系統進行建模分析和仿真。Simulink提供了利用鼠標拖拽的方法建立系統框圖模型的圖形界面，而且Simulink還提供了豐富的功能塊和不同的專業模塊集合，利用Simulink幾乎可以做到不書寫一行代碼完成整個動態系統的建模工作。
1.2 倒立擺簡介倒立擺是自動控制領域典型的控制對象，為眾多研究人員驗證控制理論及算法所采用。本實驗的便攜式倒立擺系統，是一個具有多控制對象、模塊化、多實驗環境、拆裝方便等特點的典型對象。近年來，新的控制方法不斷出現，人們試圖通過倒立擺這樣一個典型的控制對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩定系統的能力，從而從中找出最優秀的控制方法。倒立擺系統作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗平臺，以用來檢驗某種控制理論和方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新思想的發展。
由于控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術、人工智能、導彈攔截控制系統、航空對決控制技術、火箭發射中的垂直度控制、衛星飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。
1.2.2 直線一級倒立擺直線一級倒立擺由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的倒立擺之一。該系統相對其他倒立擺較為簡單，但能體現倒立擺系統控制的基本思想，故主要針對直線一級倒立擺進行設計。
倒立擺的控制目標：倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快的達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿達到期望的位置后，系統能克服隨機擾動而保持穩定的位置。
倒立擺控制系統輸出為擺桿角度和小車位置，通過對控制對象設計合適的校正環節，使得擺桿起擺后保持穩擺，設計方式有跟軌跡法、頻域法、PID法，串聯校正方式又有超前校正、滯后矯正、滯后—超前矯正。不同分析方式的特點選擇合適校矯正方法，設計合適的控制器，使系統滿足相應的指標。本設計主要是采用根軌跡法和PID法。
1.3 旋轉編碼器旋轉編碼器是一種角度傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應式三種。我們在閉環系統中常用光電式編碼器來測角度。旋轉編碼器有增量編碼器和絕對編碼器兩種，它由發光元件、光電碼盤、光敏元件和光電檢測裝置組成。由于光電式脈沖編碼盤每轉過一個分辨角就發出一個脈沖信號，因此，根據脈沖數目可得出工作軸的回轉角度，由傳動比換算出直線位移距離；根據脈沖頻率可得工作軸的轉速；根據、兩相信號的相位先后，可判斷光電碼盤的正、反轉，以得到待測裝置轉向。
由于光電編碼器輸出的檢測信號是數字信號，因此可以直接進入計算機進行處理，不需放大和轉換等過程，使用非常方便，因此應用越來越廣泛。
由于狀態反饋要求被控系統是一個線性系統，而倒立擺系統本身是一個非線性的系統，因此用狀態反饋來控制倒立擺系統，首先要將這個非線性系統近似成為一個線性系統。在忽略了空氣流動和各種摩擦之后，可將倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統。
圖2.1 直線一級倒立擺運動示意圖
M 小車質量
m 擺桿質量
b 小車摩擦系數
l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度
I 擺桿慣量
F 加在小車上的力
x 小車位置
擺桿與垂直向上方向的夾角
擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）
圖2.2 小車受力圖 圖2.3 擺桿受力圖
圖2.2和圖2.3是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量，圖示方向為矢量正方向。
分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
（1）
由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式:
（2）
即： 
（3）
把這個等式代入(1)式中，就得到系統的水平方向運動方程:
（4）
對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到：
（5）
（6）
力矩平衡方程：
（7）
合并式（6）、（7）消去P和N得到第二個方程：
（8）
設
（
是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即<<1，則可以進行近似處理:
（9）
用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下:
(10)
對方程組(9)式進行拉普拉斯變換，得到方程組:
(11)
注意:推導傳遞函數時假設初始條件為0。由于輸出為角度
，求解方程組的第一個方程，可以得到:
(12)
如果令
,則有:
(13)
把上式代入方程組的第二個方程，得到:
(14)
整理后得到傳遞函數:
(15)
其中 
設系統狀態空間方程為:
(16)
方程組對
解代數方程，得到解如下:
(17)
整理后得到以外界作用力(u來代表被控對象的輸入力F)作為輸入的系統狀態方程:
(18)
(19)
由方程組(9)得第一個方程為:
(20)
對于質量均勻分布的擺桿有:
(21)
于是可以得到:
(22)
化簡得到:
(23)
設
,則可以得到以小車加速度作為輸入的系統狀態方程:
(24)
(25)
以小車加速度為控制量，擺桿角度為被控對象，此時系統的傳遞函數為:
(26)
將物理參數代入上面的系統狀態方程和傳遞函數中得到系統精確模型。系統狀態空間方程：
:
(27)
(28)
系統傳遞函數:
(29)
上面已經得到系統的狀態方程式，對其進行階躍響應分析，在MATLAB命令窗口鍵入以下命令:
A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 60 0];
B=[0 1 0 6.122]’;
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=[0 0]’;
step(A,B,C,D);
圖2.4 階躍響應曲線
從圖中分析，未校正前系統是不穩定的。
2.2.2 穩定性分析由系統傳遞函數（29）式可得其特征方程為：
（30）
可得其特征根為：
。顯然，有一個特征根位于s平面的右半平面，所以便攜式直線一級倒立擺系統是不穩定的。
根據傳遞函數式 
，利用MATLAB得到原系統的根軌跡，如圖3.1，有兩個極點
，無零點。
MATLAB程序設計如下：
num=[6.122];
den=[1,0,-60];
rlocus(num,den);
z=roots(num);
p=roots(den)
圖3.1 校正前的根軌跡圖
從根軌跡上可以看出，有一條根軌跡起始于右半平面的極點，兩條根軌跡沿著虛軸向無限遠處延伸，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統總是不穩定的，必須增加控制器對其進行校正。
從根軌跡圖中可得，系統并不穩定，因此需要對系統進行超前校正，對于傳遞函數為：
設計控制器使得校正后系統的性能指標如下：
調整時間
、最大超調量，
；
確定閉環期望極點
的位置，由最大超調量：
可以得到
，取
，由
得
rad，其中
為位于第二象限的極點和原點的連線與實軸負方向的夾角。
又由
，可以得到
，取
，于是可以得到期望的閉環極點=
未校正系統的根軌跡在實軸和虛軸上，不通過閉環期望極點，因此需要對系統進行超前校正，設控制器為：
計算超前校正裝置應提供的相角，已知系統原來的極點在主導極點產生的滯后相角和為：
所以一次校正裝置提供的相角為：
設計超前校正裝置，已知
，對于最大的
值的
角度：
圖3.2 根軌跡校正計算圖
按最佳確定法作圖規則，在上圖中畫出相應的直線，求出超前校正裝置的零點和極點，分別為：
校正后系統的開環傳遞函數為：
由幅值條件
，并設反饋為單位反饋，即
。
求得：
于是我們得到了系統的控制器：
校正后用Matlab繪制根軌跡和階躍響應曲線的程序如下：
num=[6.122];
den=[1 0 -60];
numlead=-7.0675;
denlead=-21.4332;
[Z,P,K]=tf2zp(num,den);
Za=[Z;numlead];
Pa=[P;denlead];
[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K);
sys=tf(num2,den2);
rlocus(sys);
figure
KK=48.6810;
sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);
sysc=sys2/(1+sys2);
t=0:0.01:3;
step(sysc,t);
在第一次調試時，選擇的
時，得到的根軌跡以及階躍響應曲線如圖3.3所示，可得，出現了超調，若要解決此問題則要重新選擇
進行設計，可以采用增加阻尼
，重復上面的設計方法，重新設計，直到系統的響應滿足要求。或者在保持
角不變的情況下，將校正裝置的零點向左側偏移，以減少閉環零點和極點的影響。
圖3.3 出現超調現象圖
圖3.4 校正后根軌跡圖
圖3.5 校正后系統階躍響應曲線
根據以上兩圖可以看出，校正后具有很好的穩定性，但在實際調試過程中發現存在一定的穩態誤差，通過對倒立擺的實物調試，尋找最優的K值。在調試時，發現K值越大出現倒立擺劇烈抖動，不穩定，出現超調現象，所以根據倒立擺的實際情況最終選擇K=48.7915。因與理論計算的結果相差不大，故而，不再重新設計。
在Simulink中進行仿真，設置好設計所得的參數。如圖3.6所示為Simulink模型搭建圖。
圖3.6 根軌跡模型搭建
運行以后得到如圖3.7所示的仿真結果。
圖3.7 擺桿角度響應曲線
根軌跡法控制器設計實物調節及參數設置見附錄1。
3.3 PID控制設計PID控制器因其結構簡單，容易調節，且不需要對系統建立精確的模型，在實際控制中應用較廣。
PID調節器各校正環節的作用是：
比例環節：即時成比例的反映控制系統偏差信號；偏差一旦產生，調節器立即產生控制作用以減小偏差，產生過調；
積分環節：主要用于消除靜差，提高系統的無差度，當積分環節過大時會產生振蕩；
微分環節：能反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號的值變得太大之前，在系統中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統的動作速度，減少調節時間。
此次實驗只考慮控制擺桿的角度，小車的位置是不受控的，即擺桿角度的單閉環控制，立起擺桿后，會發現小車向一個方向運動直到碰到限位信號。那么要使倒立擺穩定在固定位置，還需要增加對電機位置的閉環控制，這就形成了擺桿角度和電機位置的雙閉環控制。立擺后表現為電機在固定位置左右移動控制擺桿不倒。
3.3.2 PID控制參數設計及仿真如圖3.8所示，為PID控制仿真模型。
圖3.8 PID仿真模型
如圖3.9所示，可以通過雙擊PID控制模型進行參數設置。
圖3.9 PID參數設置
先設置相關參數為
，得到如圖3.10所示的擺桿角度響應曲線。
圖3.10 擺桿角度響應曲線
通過調節參數，設置
，得到圖3.11所示曲線。
圖3.11 調整參數后曲線
從圖中可以看出閉環控制系統持續振蕩，應增加微分控制參數，經過三個參數的慢慢調節，最終設定參數為
，得到如圖3.12所示曲線。
圖3.12 增加微分，積分參數后曲線圖
可以看出，其在1秒內達到平衡，系統穩態誤差比較小，但存在超調現象。
圖3.13 小車位置響應曲線
從圖3.13可得，由于PID控制器為單輸入單輸出系統，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動，PID控制分析中的最后一段，若是想控制電機的位置，使得倒立擺系統穩定在固定位置附近，那么還需要設計位置PID閉環。
圖3.14 最優參數圖
當設置參數為
時得到如圖3.14所示曲線，并取值為本次設計PID控制的最優參數。
PID控制法控制器設計實物調節見附錄2。
在本次設計中，發現直線一級倒立擺本身是不穩定的系統，但通過數學建模分析可以建立起小車加速度與擺桿角度間的傳遞函數，然后應用控制理論的方法，借助MATLAB及Simulink軟件，可以分析出系統的特性一級調節方向。設置的參數調整時間為0.9s，最大超調量為25.4%，經過計算得出阻尼比和固有頻率，阻尼比與最大超調量有關，當最大超調量比較大時，系統穩態誤差較大，在MATLAB中利用計算所得的參數繪制根軌跡圖和系統階躍響應曲線，分析曲線、系統的穩定性。若系統出現超調，則應該調節阻尼比，進行重新設計計算，直到得到最優參數為止。
直線一級倒立擺的校正有三種方式，分別是根軌跡法、頻率法、以及PID調節法。通過實際對比發現PID調節法設計的控制器比較穩定，擺桿振蕩小，校正效果好。根軌跡法設計的控制器與選擇的參數最大超調量和調整時間有關，即最大超調量越大，系統越不穩定，擺桿振蕩大，達到平衡所需的時間多，且擺桿不容易調整到平衡狀態。
本次的課程設計很好的鍛煉了我的動手能力和選擇最優參數方法，了解了自動控制原理這門課程，知道了直線一級倒立擺在科研教學中的重要作用。本次課設最大的難度在于數學模型的建立以及最優參數的選擇。我們必須掌握基本概念，才能將選擇到最優參數，設計好控制器。通過不斷地更改參數，繪制根軌跡圖、系統階躍響應圖來分析系統是否達到平衡，若不平衡則需要重新調整參數。
圖附錄1.1 根軌跡法參數設置
圖附錄1.2 根軌跡法實物調試
圖附錄2.1 PID控制法參數設置
自動控制 (1).docx
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