一、傅立葉變換的由來(lái)

關(guān)于傅立葉變換，無(wú)論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過(guò)抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個(gè)關(guān)于數(shù)字信號(hào)處理的電子書籍，是一個(gè)叫Steven W. Smith, Ph.D.外國(guó)人寫的，寫得非常淺顯，里面有七章由淺入深地專門講述關(guān)于離散信號(hào)的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，看了有茅塞頓開的感覺(jué)，在此把我從中得到的理解拿出來(lái)跟大家分享，希望很多被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，這電子書籍是免費(fèi)的，有興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來(lái)看一下.

要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級(jí)數(shù)變換，其中傅立葉級(jí)數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。

二、傅立葉變換的提出

讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。

誰(shuí)是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。

為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來(lái)代替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。

三、傅立葉變換分類

根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：

下圖是四種原信號(hào)圖例：

這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒(méi)有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。

但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。

每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。

還有，這里我們所要說(shuō)的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。

四、傅立葉變換的物理意義

傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;4. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

五、圖像傅立葉變換的物理意義

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。

傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較小），反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

另外我還想說(shuō)明以下幾點(diǎn)： 
1、圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明： 
若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。 
2 、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）。

六、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子

先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例，一個(gè)原始信號(hào)的長(zhǎng)度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波（一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率，再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖：

9個(gè)正弦信號(hào)：

9個(gè)余弦信號(hào)：

上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)，用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的副度值數(shù)組, 因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1，X[]數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[]，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長(zhǎng)度是N，而不是N/2+1）。

七、用Matlab實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái)，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。 
雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來(lái)做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來(lái)做FFT。 
現(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)說(shuō)FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過(guò)ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。 
采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。 
假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說(shuō)，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。 
假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n<=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào)，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。 
下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來(lái)做說(shuō)明。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來(lái)細(xì)看： 
1點(diǎn)： 512+0i 
2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 
50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 
51點(diǎn)：332.55 - 192i 
52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 
75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 
76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i 
77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 
很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著，我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下： 
1點(diǎn)： 512 
51點(diǎn)：384 
76點(diǎn)：192 
按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見(jiàn)，從頻譜分析出來(lái)的幅度是正確的。 
然后再來(lái)計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒(méi)有相位可言，不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見(jiàn)，相位也是對(duì)的。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)。

總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之后，某一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度（對(duì)于直流信號(hào)是除以N）；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問(wèn)題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

八、 讓傅立葉變換從理性蛻變到感性，從抽象升華到具體（應(yīng)不少網(wǎng)友反應(yīng)說(shuō)以上7部分還是不夠淺顯而另加的一部分，希望對(duì)大家有所啟發(fā)）

1、我們都知道，LTI系統(tǒng)對(duì)諧波函數(shù)的響應(yīng)也是相同頻率的諧波函數(shù)，只是幅度和相位可能不同罷了，因此我們用諧波函數(shù)來(lái)表示信號(hào)正是為了導(dǎo)出頻域的概念。那你就會(huì)問(wèn)為什么我們要在頻域來(lái)分析信號(hào)，它比時(shí)域分析究竟好在哪里呢？這個(gè)問(wèn)題非常好，我來(lái)回答你，第一，在頻域觀察和分析信號(hào)有助于揭示系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，更重要的是對(duì)于某些系統(tǒng)可以極大地簡(jiǎn)化其設(shè)計(jì)和分析過(guò)程。這一點(diǎn)想必大家都知道，我不再啰嗦！第二，從數(shù)學(xué)上來(lái)看，系統(tǒng)從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換就意味著系統(tǒng)的微分或差分方程將轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程，而系統(tǒng)的分析也將采用描述系統(tǒng)的復(fù)系數(shù)代數(shù)方程而不是微分或差分方程。既然如此，那么請(qǐng)問(wèn)？童鞋，你是喜歡跟微分差分方程玩兒呢還是喜歡跟代數(shù)方程玩兒呢？假若你說(shuō)你更喜歡跟微分差分方程玩兒。那我也無(wú)話可說(shuō)啦！

可能你還是覺(jué)得以上所述只是一個(gè)很理性的認(rèn)識(shí)，那么接下來(lái)，滿足你的感性需求。其實(shí)，在生活中，我們無(wú)時(shí)無(wú)刻不在進(jìn)行著傅立葉變換。（什么？我沒(méi)有聽錯(cuò)吧？！）對(duì)的，請(qǐng)相信你的耳朵，你完全沒(méi)有聽錯(cuò)。我們來(lái)看人類聽覺(jué)系統(tǒng)的處理過(guò)程：當(dāng)我們聽到一個(gè)聲音，大腦的實(shí)際反應(yīng)是什么？事實(shí)上耳朵感覺(jué)到一個(gè)時(shí)變的空氣壓力，這種變化也許是一個(gè)類似于口哨聲的單音。當(dāng)我們聽到一個(gè)口哨聲時(shí)，我們所關(guān)心的并不是氣壓隨時(shí)間的振動(dòng)（它非常非常快！），而是聲音的三個(gè)特征：基音、聲強(qiáng)以及音長(zhǎng)。基音可以理解為頻率的同義詞，聲強(qiáng)不是別的，它就是幅度。我們的耳朵—大腦系統(tǒng)能有效地將信號(hào)表示成三個(gè)簡(jiǎn)單的特征參數(shù)：基音、聲強(qiáng)以及音長(zhǎng)，并不理會(huì)氣壓的快速變化過(guò)程（一個(gè)重復(fù)的變化過(guò)程）。這樣耳朵—大腦系統(tǒng)就提取了信號(hào)的本質(zhì)信息。傅立葉變換的分析過(guò)程與此類似，只不過(guò)我們從數(shù)學(xué)意義把它更加精確化和專業(yè)話罷了。

2、不要把傅立葉變換想得那么高深莫測(cè)，其實(shí)它就是對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)的一種拓展。我們知道，傅立葉級(jí)數(shù)能描述無(wú)限時(shí)間的周期信號(hào)。那么，傅立葉級(jí)數(shù)能不能描述某些特殊的無(wú)限時(shí)間的非周期信號(hào)呢？答案是，不能。但我們經(jīng)常要分析處理這樣的信號(hào)啊！于是傅立葉變換這個(gè)家伙現(xiàn)身啦！傅立葉變換就是為了使傅立葉級(jí)數(shù)能夠描述所有（沒(méi)錯(cuò)！就是所有！）周期和非周期的無(wú)限時(shí)間信號(hào)而導(dǎo)出的，因而傅立葉變換是對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)的一種拓展。

可能你還是覺(jué)得以上所述只是一個(gè)很抽象的認(rèn)識(shí)，那么接下來(lái)，滿足你的具體需求。我們先不管是怎么進(jìn)行拓展的。我們先關(guān)注另外兩個(gè)概念：周期信號(hào)和非周期信號(hào)。他們的顯著區(qū)別就在于：周期信號(hào)每隔一個(gè)有限的時(shí)間即基波周期To重復(fù)一次。它自始至終都將以這個(gè)基波周期To重復(fù)。而非周期信號(hào)則沒(méi)有一個(gè)確定的或固定的周期，可能在一段時(shí)間內(nèi)他將重復(fù)某一段波形很多次，但不會(huì)在整個(gè)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間范圍都如此。我們找到一個(gè)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)，然后讓這個(gè)信號(hào)的基波周期趨于無(wú)限，就完成了從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換的演變過(guò)程。因?yàn)楫?dāng)周期信號(hào)的基波周期趨于無(wú)限時(shí)，它的波形在有限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都不會(huì)重復(fù)，這時(shí)它就不具有周期性啦！也就是說(shuō)，說(shuō)一個(gè)信號(hào)具有無(wú)限長(zhǎng)的周期和說(shuō)它是一個(gè)非周期信號(hào)實(shí)際上是一回事！