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最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法是證明當(dāng)n等于任意一個自然數(shù)時某命題成立。證明分下面兩步：
證明當(dāng)n= 1時命題成立。
假設(shè)n=m時命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數(shù)）
這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當(dāng)這兩點都已經(jīng)證明，那么任意值都可以通過反復(fù)使用這個方法推導(dǎo)出來。把這個方法想成多米諾效應(yīng)也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：
證明第一張骨牌會倒。
證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。
骨牌一個接一個倒下就如同一個值接下一個值
那么便可以下結(jié)論：所有的骨牌都會倒下。
解題要點
數(shù)學(xué)歸納法對解題的形式要求嚴(yán)格，數(shù)學(xué)歸納法解題過程中，
第一步：驗證n取第一個自然數(shù)時成立
第二步：假設(shè)n=k時成立，然后以驗證的條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進行推導(dǎo)，在接下來的推導(dǎo)過程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。
最后一步總結(jié)表述。
需要強調(diào)是數(shù)學(xué)歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：
證明1：所有的馬都是一種顏色
首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。
第二步，假設(shè)這個命題對n成立，即假設(shè)任何n匹馬都是一種顏色。那么當(dāng)我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：
1, 2, 3……n, n+1
對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設(shè)可以得到，它們都是同一種顏色；
對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；
由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。
這個證明的錯誤來于推理的第二步：當(dāng)n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數(shù)學(xué)歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數(shù)都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。
證明2：舉例證明下面的定理
——等差數(shù)列求和公式
第一步，驗證該公式在 n = 1 時成立。即有左邊=1，右邊=
=1，所以這個公式在n = 1時成立。
第二步，需要證明假設(shè)n = m 時公式成立，那么可以推導(dǎo)出n = m+1 時公式也成立。步驟如下：
假設(shè)n = m 時公式成立，即
（等式1）
然后在等式兩邊同時分別加上m + 1 得到
（等式2）
這就是n = m+1 時的等式。我們下一步需要根據(jù) 等式1證明 等式2 成立。通過因式分解合并，等式2的右邊
也就是
這樣我們就完成了由n=m成立推導(dǎo)出n=m+1成立的過程，證畢。
結(jié)論：對于任意自然數(shù)n，公式均成立。
對于以上例2的分析
在這個證明中，歸納的過程如下：
首先證明n=1成立。
然后證明從n=m 成立可以推導(dǎo)出n=m+1 也成立（這里實際應(yīng)用的是演繹推理法）。
根據(jù)上兩條從n=1 成立可以推導(dǎo)出n=1+1，也就是n=2 成立。
繼續(xù)推導(dǎo)，可以知道n=3 成立。
從 n=3 成立可以推導(dǎo)出n=4 也成立……
不斷重復(fù)3的推導(dǎo)過程（這就是所謂“歸納”推理的地方）。
我們便可以下結(jié)論：對于任意自然數(shù)n，公式成立。
合理性
數(shù)學(xué)歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎(chǔ)上，它可以用一些邏輯方法證明。數(shù)學(xué)歸納法原理可以由下面的良序性質(zhì)（最小自然數(shù)原理）公理可以推出：
自然數(shù)集是良序的。（每個非空的正整數(shù)集合都有一個最小的元素）
比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數(shù)集合中有最小的數(shù)——1.
下面我們將通過這個性質(zhì)來證明數(shù)學(xué)歸納法：
對于一個已經(jīng)完成上述兩步證明的數(shù)學(xué)命題，我們假設(shè)它并不是對于所有的正整數(shù)都成立。
對于那些不成立的數(shù)所構(gòu)成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬于集合S的，所以k>1）
k已經(jīng)是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬于S，這意味著k-1對于命題而言是成立的——既然對于k-1成立，那么也對k也應(yīng)該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠?qū)λ衝都成立。
注意到有些其它的公理確實是數(shù)學(xué)歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。
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