拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法,把定義在時域上的信號（函數）映射到復頻域上（要理解這句話,需要了解一下函數空間的概念--我們知道,函數定義了一種“從一個集合的元素到另一個集合的元素”的關系,而兩個或以上的函數組合成的集合,就是函數空間,即函數空間也是一個集合；拉普拉斯變換的“定義域”,就是函數空間,可以說,拉普拉斯變換就是一種處理函數的函數.由于拉普拉斯變換定義得相當巧妙,所以它就具有一些奇特的特質）,而且,這是一種一一對應的關系（只要給定復頻域的收斂域）,故只要給定一個時域函數（信號）,它就能通過拉普拉斯變換變換到一個復頻域信號（不管這個信號是實信號還是復信號）,因而,只要我們對這個復頻域信號進行處理,也就相當于對時域信號進行處理（例如設f(t)←→F(s),Re[s]>a,則若我們對F(s)進行時延處理,得到信號F(s-z),Re[s]>a+Re[z],那么就相當于我們給時域函數乘以一個旋轉因子e^zt,即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要對F(s-z)進行反變換,就可以得到f(t)e^zt）.
拉普拉斯變換被用于求解微分方程,主要是應用拉普拉斯變換的幾個性質,使求解微分方程轉變為求解代數方程（因為求解代數方程總比求解微分方程容易得多!而且,（可以很方便地）對求解結果進行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解）.
我們總可以容易地畫出實變函數的圖像（絕大多數函數的確如此）,但我們難以畫出一個復變函數的圖象,這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一；而另外一個原因,就是拉普拉斯變換中的復頻率s沒有明確的物理意義.
關于特征根和復數,建議提問者再去看看書中的定義,應該不難理解.
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