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對于微分方程細節的一些總結

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樓主
ID:104287 發表于 2016-1-29 18:12 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
                        可分離變量微分方程稱為:XY都可以放在兩邊,分別進行積分

齊次微分方程
齊次叫法:
“齊次”從詞面上解釋是“次數相等”的意思。
微分方程中有兩個地方用到“齊次”的叫法:
1、形如y'=f(y/x)的方程稱為“齊次方程”,這里是指方程中每一項關于xy的次數都是相等的,例如x^2,xy,y^2都算是二次項,而y/x0次項,方程y'=1+y/x中每一項都是0次項,所以是“齊次方程”。
2、形如y''+py'+qy=0的方程稱為“齊次線性方程”,這里“齊次”是指方程中每一項關于未知函數y及其導數y',y'',……的次數都是相等的(都是一次),而方程y''+py'+qy=x就不是“齊次”的,因為方程右邊的項x不含yy的導數,是關于y,y',y'',……的0次項,因而就要稱為“非齊次線性方程”。
另外在線性代數里也有“齊次”的叫法,例如f=ax^2+bxy+cy^2稱為二次齊式,即二次齊次式的意思,因為f中每一項都是關于xy的二次項。


線性   最通俗的講:線性指的方程中沒有冪指運算,即沒有次方、根號、對數、三角函數等運算,只包含變量與其系數

線性指的是方程中函數的導數和函數本身都是一次的,但這里僅僅是對于y本身來說,x沒限制.
也就是說y'+p(x)y+q(x)=0的形式.其中對于p(x)q(x)并不做限制.
形式如(y')2+p(x)y+q(x)=0, y'+p(x)y2+q(x)=0等形式的就不再是線性方程.
為了更好的理解.可以這樣打個比方,對于曾經學過的一次函數ax+by+c=0,ab不同時為0.
只要把其中的xy換成微分方程中的y'y即可,變換后的方程即為線性微分方程.
                                                                       

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