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本帖翻譯自IMU（加速度計(jì)和陀螺儀設(shè)備）在嵌入式應(yīng)用中使用的指南。
這篇文章主要介紹加速度計(jì)和陀螺儀的數(shù)學(xué)模型和基本算法，以及如何融合這兩者，側(cè)重算法、思想的討論
介紹
本指南旨在向興趣者介紹慣性MEMS（微機(jī)電系統(tǒng)）傳感器，特別是加速度計(jì)和陀螺儀以及其他整合IMU（慣性測(cè)量單元）設(shè)備。
IMU單元例子：上圖中MCU頂端的ACC Gyro 6DOF，名為USBThumb，支持USB/串口通信
在這篇文章中我將概括這么幾個(gè)基本并且重要的話題：
- 加速度計(jì)（accelerometer）檢測(cè)什么
- 陀螺儀（gyroscope，也稱作 gyro）檢測(cè)什么
- 如何將傳感器ADC讀取的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為物理單位（加速度傳感器的單位是g，陀螺儀的單位是 度/秒）
- 如何結(jié)合加速度傳感器和陀螺儀的數(shù)據(jù)以得到設(shè)備和地平面之間的傾角的準(zhǔn)確信息
在整篇文章中我盡量將數(shù)學(xué)運(yùn)算降低到最少。如果你知道什么是正弦、余弦、正切函數(shù)，那無(wú)論你的項(xiàng)目使用哪種平臺(tái)你應(yīng)該都會(huì)明白和運(yùn)用這篇文章中的思想，這些平臺(tái)如Arduino、Propeller、Basic Stamp、Ateml芯片、PIC芯片等等。總有些人認(rèn)為使用IMU單元需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算（復(fù)雜的FIR或IIR濾波，如卡爾曼濾波，Parks-McClellan濾波等）。你如果研究這些會(huì)得到很棒且很復(fù)雜的結(jié)果。我解釋事情的方式，只需要基本的數(shù)學(xué)。我非常堅(jiān)信簡(jiǎn)單的原則。我認(rèn)為一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)更容易操作和監(jiān)控，另外許多嵌入式設(shè)備并不具備能力和資源去實(shí)現(xiàn)需要進(jìn)行矩陣運(yùn)算的復(fù)雜算法。
我會(huì)用我設(shè)計(jì)的一個(gè)新IMU模塊——Acc_Gyro Accelerometer + Gyro IMU作為例子。在下面的例子中我們會(huì)使用這個(gè)設(shè)備的參數(shù)。用這個(gè)模塊作為介紹非常合適，因?yàn)樗?個(gè)設(shè)備組成：
- LIS331AL (datasheet) – 3軸 2G 模擬加速度計(jì)
- LPR550AL (datasheet) – 雙軸（俯仰、翻滾） 500°/s 加速度傳感器
- LY550ALH (datasheet) –單軸（偏航）陀螺儀 最后這個(gè)設(shè)備在這篇介紹中不使用，不過(guò)他在DCM Matrix implementation中有重要作用
它們一起組成了一個(gè)6自由度的慣性測(cè)量單元。這是個(gè)花哨的名字！然而，在花哨的名字后面是個(gè)非常有用的設(shè)備組合，接下來(lái)我們會(huì)詳細(xì)介紹之。
第一部分 加速度計(jì)
要了解這個(gè)模塊我們先從加速度計(jì)開始。當(dāng)我們?cè)谙胂笠粋�(gè)加速度計(jì)的時(shí)候我們可以把它想作一個(gè)圓球在一個(gè)方盒子中。你可能會(huì)把它想作一個(gè)餅干或者甜圈，但我就把它當(dāng)做一個(gè)球好了：
我們假定這個(gè)盒子不在重力場(chǎng)中或者其他任何會(huì)影響球的位置的場(chǎng)中，球處于盒子的正中央。你可以想象盒子在外太空中，遠(yuǎn)離任何天體，如果很難想象，那就當(dāng)做盒子在航天飛機(jī)中，一切東西都處于無(wú)重力狀態(tài)。在上面的圖中你可以看到我們給每個(gè)軸分配了一對(duì)墻（我們移除了Y+以此來(lái)觀察里面的情況）。設(shè)想每面墻都能感測(cè)壓力。如果我們突然把盒子向左移動(dòng)（加速度為1g=9.8m/s^2），那么球會(huì)撞上X-墻。然后我們檢測(cè)球撞擊墻面產(chǎn)生的壓力，X軸輸出值為-1g。
請(qǐng)注意加速度計(jì)檢測(cè)到得力的方向與它本身加速度的方向是相反的。這種力量通常被稱為慣性力或假想力 。在這個(gè)模型中你你應(yīng)該學(xué)到加速度計(jì)是通過(guò)間接測(cè)量力對(duì)一個(gè)墻面的作用來(lái)測(cè)量加速度的，在實(shí)際應(yīng)用中，可能通過(guò)彈簧等裝置來(lái)測(cè)量力。這個(gè)力可以是加速度引起的，但在下面的例子中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它不一定是加速度引起的。
如果我們把模型放在地球上，球會(huì)落在Z-墻面上并對(duì)其施加一個(gè)1g的力，見下圖：
在這種情況下盒子沒有移動(dòng)但我們?nèi)稳蛔x取到Z軸有-1g的值。球在墻壁上施加的壓力是由引力造成的。在理論上，它可以是不同類型的力量 - 例如，你可以想象我們的球是鐵質(zhì)的，將一個(gè)磁鐵放在盒子旁邊那球就會(huì)撞上另一面墻。引用這個(gè)例子只是為了說(shuō)明加速度計(jì)的本質(zhì)是檢測(cè)力而非加速度。只是加速度所引起的慣性力正好能被加速度計(jì)的檢測(cè)裝置所捕獲。
雖然這個(gè)模型并非一個(gè)MEMS傳感器的真實(shí)構(gòu)造，但它用來(lái)解決與加速度計(jì)相關(guān)的問(wèn)題相當(dāng)有效。實(shí)際上有些類似傳感器中有金屬小球，它們稱作傾角開關(guān)，但是它們的功能更弱，只能檢測(cè)設(shè)備是否在一定程度內(nèi)傾斜，卻不能得到傾斜的程度。
到目前為止，我們已經(jīng)分析了單軸的加速度計(jì)輸出，這是使用單軸加速度計(jì)所能得到的。三軸加速度計(jì)的真正價(jià)值在于它們能夠檢測(cè)全部三個(gè)軸的慣性力。讓我們回到盒子模型，并將盒子向右旋轉(zhuǎn)45度。現(xiàn)在球會(huì)與兩個(gè)面接觸：Z-和X-，見下圖：
0.71g這個(gè)值是不是任意的，它們實(shí)際上是1/2的平方根的近似值。我們介紹加速度計(jì)的下一個(gè)模型時(shí)這一點(diǎn)會(huì)更清楚。
在上一個(gè)模型中我們引入了重力并旋轉(zhuǎn)了盒子。在最后的兩個(gè)例子中我們分析了盒子在兩種情況下的輸出值，力矢量保持不變。雖然這有助于理解加速度計(jì)是怎么和外部力相互作用的，但如果我們將坐標(biāo)系換為加速度的三個(gè)軸并想象矢量力在周圍旋轉(zhuǎn)，這會(huì)更方便計(jì)算。
請(qǐng)看看在上面的模型，我保留了軸的顏色，以便你的思維能更好的從上一個(gè)模型轉(zhuǎn)到新的模型中。想象新模型中每個(gè)軸都分別垂直于原模型中各自的墻面。矢量R是加速度計(jì)所檢測(cè)的矢量（它可能是重力或上面例子中慣性力的合成）。RX，RY，RZ是矢量R在X，Y，Z上的投影。請(qǐng)注意下列關(guān)系：
，R ^ 2 = RX ^ 2 + RY ^ 2 + RZ ^ 2（公式1）
此公式等價(jià)于三維空間勾股定理。
還記得我剛才說(shuō)的1/2的平方根0.71不是個(gè)隨機(jī)值吧。如果你把它們代回上式，回顧一下重力加速度是1g，那我們就能驗(yàn)證：
1 ^ 2 =（SQRT（1/2））^ 2 + 0 ^ 2 +（SQRT（1/2））^ 2
在公式1中簡(jiǎn)單的取代： R=1, Rx = -SQRT(1/2), Ry = 0 , Rz = -SQRT(1/2)
經(jīng)過(guò)一大段的理論序言后，我們和實(shí)際的加速度計(jì)很靠近了。RX，RY，RZ值是實(shí)際中加速度計(jì)輸出的線性相關(guān)值，你可以用它們進(jìn)行各種計(jì)算。
在我們運(yùn)用它之前我們先討論一點(diǎn)獲取加速度計(jì)數(shù)據(jù)的方法。大多數(shù)加速度計(jì)可歸為兩類：數(shù)字和模擬。數(shù)字加速度計(jì)可通過(guò)I2C，SPI或USART方式獲取信息，而模擬加速度計(jì)的輸出是一個(gè)在預(yù)定范圍內(nèi)的電壓值，你需要用ADC（模擬量轉(zhuǎn)數(shù)字量）模塊將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字值。我將不會(huì)詳細(xì)介紹ADC是怎么工作的，部分原因是這是個(gè)很廣的話題，另一個(gè)原因是不同平臺(tái)的ADC都會(huì)有差別。有些MCU具有內(nèi)置ADC模塊，而有些則需要外部電路進(jìn)行ADC轉(zhuǎn)換。不管使用什么類型的ADC模塊，你都會(huì)得到一個(gè)在一定范圍內(nèi)的數(shù)值。例如一個(gè)10位ADC模塊的輸出值范圍在0 .. 1023間，請(qǐng)注意，1023 = 2 ^ 10 -1。一個(gè)12位ADC模塊的輸出值范圍在0 .. 4095內(nèi)，注意，4095 = 2 ^ 12-1。
我們繼續(xù)，先考慮下一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)我們從10位ADC模塊得到了以下的三個(gè)軸的數(shù)據(jù)：
AdcRx = 586
AdcRy = 630
AdcRz = 561
每個(gè)ADC模塊都有一個(gè)參考電壓，假設(shè)在我們的例子中，它是3.3V。要將一個(gè)10位的ADC值轉(zhuǎn)成電壓值，我們使用下列公式：
VoltsRx = AdcRx * VREF / 1023
小注：8位ADC的最大值是255 = 2 ^ 8 -1，12位ADC最大值是4095 = 2 ^ 12 -1。
將3個(gè)軸的值代入上式，得到：
VoltsRx = 586 * 3.3 / 1023 =～1.89V（結(jié)果取兩位小數(shù)）
VoltsRy = 630 * 3.3 / 1023 =～2.03V
VoltsRz = 561 * 3.3 / 1023 =～1.81V
每個(gè)加速度計(jì)都有一個(gè)零加速度的電壓值，你可以在它的說(shuō)明書中找到，這個(gè)電壓值對(duì)應(yīng)于加速度為0g。通過(guò)計(jì)算相對(duì)0g電壓的偏移量我們可以得到一個(gè)有符號(hào)的電壓值。比方說(shuō)，0g電壓值 VzeroG= 1.65V，通過(guò)下面的方式可以得到相對(duì)0g電壓的偏移量:
DeltaVoltsRx = 1.89V - 1.65V = 0.24V
DeltaVoltsRy = 2.03V - 1.65V = 0.38V
DeltaVoltsRz = 1.81V - 1.65V = 0.16V
現(xiàn)在我們得到了加速度計(jì)的電壓值，但它的單位還不是g（9.8m/s^2），最后的轉(zhuǎn)換，我們還需要引入加速度計(jì)的靈敏度（Sensitivity），單位通常是 mV/g。比方說(shuō)，加速度計(jì)的靈敏度 Sensitivity= 478.5mV / g = 0.4785V /g。靈敏度值可以在加速度計(jì)說(shuō)明書中找到。要獲得最后的單位為g的加速度，我們使用下列公式計(jì)算：
RX = DeltaVoltsRx /Sensitivity
RX = 0.24V / 0.4785V / G =～0.5g
RY = 0.38V / 0.4785V / G =～0.79g
RZ = 0.16V / 0.4785V / G =～0.33g
當(dāng)然，我們可以把所有的步驟全部放在一個(gè)式子里，但我想通過(guò)介紹每一個(gè)步驟以便讓你了解怎么讀取一個(gè)ADC值并將其轉(zhuǎn)換為單位為g的矢量力的分量。
Rx = (AdcRx * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity (公式2)
Ry = (AdcRy * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
Rz = (AdcRz * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
現(xiàn)在我們得到了慣性力矢量的三個(gè)分量，如果設(shè)備除了重力外不受任何外力影響，那我們就可以認(rèn)為這個(gè)方向就是重力矢量的方向。如果你想計(jì)算設(shè)備相對(duì)于地面的傾角，可以計(jì)算這個(gè)矢量和Z軸之間的夾角。如果你對(duì)每個(gè)軸的傾角都感興趣，你可以把這個(gè)結(jié)果分為兩個(gè)分量：X軸、Y軸傾角，這可以通過(guò)計(jì)算重力矢量和X、Y軸的夾角得到。計(jì)算這些角度比你想象的簡(jiǎn)單，現(xiàn)在我們已經(jīng)算出了Rx，Ry，Rz的值，讓我們回到我們的上一個(gè)加速度模型，再加一些標(biāo)注上去：
我們感興趣的角度是向量R和X，Y，Z軸之間的夾角，那就令這些角度為Axr，Ayr，Azr。觀察由R和Rx組成的直角三角形：
cos(Axr) = Rx / R , 類似的：
cos(Ayr) = Ry / R
cos(Azr) = Rz / R
從公式1我們可以推導(dǎo)出 R = SQRT( Rx^2 + Ry^2 + Rz^2)
通過(guò)arccos()函數(shù)（cos()的反函數(shù)）我們可以計(jì)算出所需的角度：
Axr = arccos(Rx/R)
Ayr = arccos(Ry/R)
Azr = arccos(Rz/R)
我們花了大段的篇幅來(lái)解釋加速度計(jì)模型，最后所要的只是以上這幾個(gè)公式。根據(jù)你的應(yīng)用場(chǎng)合，你可能會(huì)用到我們推導(dǎo)出來(lái)的幾個(gè)過(guò)渡公式。我們接下來(lái)要介紹陀螺儀模塊，并向大家介紹怎么融合加速度計(jì)和陀螺儀的數(shù)據(jù)以得到更精確的傾角值。
但在此之前，我們?cè)俳榻B幾個(gè)很常用的公式：
cosX = cos(Axr) = Rx / R
cosY = cos(Ayr) = Ry / R
cosZ = cos(Azr) = Rz / R
這三個(gè)公式通常稱作方向余弦 ，它主要表達(dá)了單位向量（長(zhǎng)度為1的向量）和R向量具有相同的方向。你可以很容易地驗(yàn)證：
SQRT（cosX ^ 2 + COSY ^ 2 + cosZ ^ 2）= 1
這是個(gè)很好的性質(zhì)，因?yàn)樗苊饬宋覀円恢睓z測(cè)R向量的模（長(zhǎng)度）。通常如果我們只是對(duì)慣性力的方向感興趣，那標(biāo)準(zhǔn)化模長(zhǎng)以簡(jiǎn)化其他計(jì)算是個(gè)明智的選擇。
第二部分陀螺儀
對(duì)于陀螺儀我們將不會(huì)像加速度計(jì)一樣介紹它的等價(jià)盒子模型，而是直接跳到加速度計(jì)的第二個(gè)模型，通過(guò)這個(gè)模型我們會(huì)向大家介紹陀螺儀是怎么工作的。
陀螺儀的每個(gè)通道檢測(cè)一個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)。例如，一個(gè)2軸陀螺儀檢測(cè)繞X和Y軸的旋轉(zhuǎn)。為了用數(shù)字來(lái)表達(dá)這些旋轉(zhuǎn)，我們先引進(jìn)一些符號(hào)。首先我們定義：
Rxz – 慣性力矢量R在XZ平面上的投影
Ryz – 慣性力矢量R在YZ平面的上投影
在由Rxz和Rz組成的直角三角形中，運(yùn)用勾股定理可得：
Rxz^2 = Rx^2 + Rz^2 ，同樣：
Ryz^2 = Ry^2 + Rz^2
同時(shí)注意：
R^2 = Rxz^2 + Ry^2 ，這個(gè)公式可以公式1和上面的公式推導(dǎo)出來(lái)，也可由R和Ryz所組成的直角三角形推導(dǎo)出來(lái)
R ^ 2 = Ryz ^ 2 + RX ^ 2
在這篇文章中我們不會(huì)用到這些公式，但知道模型中的那些數(shù)值間的關(guān)系有助于理解。
相反，我們按如下方法定義Z軸和Rxz、Ryz向量所成的夾角：
AXZ - Rxz（矢量R在XZ平面的投影）和Z軸所成的夾角
AYZ - Ryz（矢量R在YZ平面的投影）和Z軸所成夾角
現(xiàn)在我們離陀螺儀要測(cè)量的東西又近了一步。陀螺儀測(cè)量上面定義的角度的變化率。換句話說(shuō)，它會(huì)輸出一個(gè)與上面這些角度變化率線性相關(guān)的值。為了解釋這一點(diǎn)，我們先假設(shè)在t0時(shí)刻，我們已測(cè)得繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度（也就是Axz），定義為Axz0，之后在t1時(shí)刻我們?cè)俅螠y(cè)量這個(gè)角度，得到Axz1。角度變化率按下面方法計(jì)算：
RateAxz = (Axz1 – Axz0) / (t1 – t0).
如果用度來(lái)表示角度，秒來(lái)表示時(shí)間，那這個(gè)值的單位就是 度/秒。這就是陀螺儀檢測(cè)的東西。
在實(shí)際運(yùn)用中，陀螺儀一般都不會(huì)直接給你一個(gè)單位為度/秒的值（除非它是個(gè)特殊的數(shù)字陀螺儀）。就像加速度計(jì)一樣，你會(huì)得到一個(gè)ADC值并且要用類似公式2的式子將其轉(zhuǎn)換成單位為 度/秒的值。讓我們來(lái)介紹陀螺儀輸出值轉(zhuǎn)換中的ADC部分（假設(shè)使用10位ADC模塊，如果是8位ADC，用1023代替255，如果是12為ADC用4095代替1023）。
RateAxz = (AdcGyroXZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity 公式3
RateAyz = (AdcGyroYZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity
AdcGyroXZ，AdcGyroYZ - 這兩個(gè)值由ADC讀取，它們分別代表矢量R的投影在XZ和YZ平面內(nèi)里的轉(zhuǎn)角，也可等價(jià)的說(shuō)，旋轉(zhuǎn)可分解為單獨(dú)繞Y和X軸的運(yùn)動(dòng)。
Vref – ADC的參考電壓，上例中我們使用3.3V
VzeroRate – 是零變化率電壓，換句話說(shuō)它是陀螺儀不受任何轉(zhuǎn)動(dòng)影響時(shí)的輸出值，對(duì)Acc Gyro板來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為是1.23V（此值通常可以在說(shuō)明書中找到——但千萬(wàn)別相信這個(gè)值，因?yàn)榇蠖鄶?shù)的陀螺儀在焊接后會(huì)有一定的偏差，所以可以使用電壓計(jì)測(cè)量每個(gè)通道的輸出值，通常這個(gè)值在焊接后就不會(huì)改變，如果有跳動(dòng)，在設(shè)備使用前寫一個(gè)校準(zhǔn)程序?qū)ζ溥M(jìn)行測(cè)量，用戶應(yīng)當(dāng)在設(shè)備啟動(dòng)的時(shí)候保持設(shè)備靜止以進(jìn)行校準(zhǔn)）。
Sensitivity –陀螺儀的靈敏度，單位mV/(deg/s)，通常寫作mV/deg/s,它的意思就是如果旋轉(zhuǎn)速度增加1°/s,陀螺儀的輸出就會(huì)增加多少mV。Acc_Gyro板的靈敏度值是2mV/deg/s或0.002V/deg/s
讓我們舉個(gè)例子，假設(shè)我們的ADC模塊返回以下值：
AdcGyroXZ = 571
AdcGyroXZ = 323
用上面的公式，在代入Acc Gyro板的參數(shù)，可得：
RateAxz = (571 * 3.3V / 1023 – 1.23V) / ( 0.002V/deg/s) =~ 306 deg/s
RateAyz = (323 * 3.3V / 1023 – 1.23V) / ( 0.002V/deg/s) =~ -94 deg/s
換句話說(shuō)設(shè)備繞Y軸（也可以說(shuō)在XZ平面內(nèi)）以306°/s速度和繞X軸（或者說(shuō)YZ平面內(nèi)）以-94°/s的速度旋轉(zhuǎn)。請(qǐng)注意，負(fù)號(hào)表示該設(shè)備朝著反方向旋轉(zhuǎn)。按照慣例，一個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)是正值。一份好的陀螺儀說(shuō)明書會(huì)告訴你哪個(gè)方向是正的，否則你就要自己測(cè)試出哪個(gè)旋轉(zhuǎn)方向會(huì)使得輸出腳電壓增加。最好使用示波器進(jìn)行測(cè)試，因?yàn)橐坏┠阃Ｖ沽诵D(zhuǎn)，電壓就會(huì)掉回零速率水平。如果你使用的是萬(wàn)用表，你得保持一定的旋轉(zhuǎn)速度幾秒鐘并同時(shí)比較電壓值和零速率電壓值。如果值大于零速率電壓值那說(shuō)明這個(gè)旋轉(zhuǎn)方向是正向。
第三部分 將它們綜合起來(lái)。融合加速度計(jì)和陀螺儀的數(shù)據(jù)。
如果你在閱讀這篇文章你可能已經(jīng)有了或準(zhǔn)備購(gòu)買一個(gè)IMU設(shè)備，或者你準(zhǔn)備用獨(dú)立的加速度計(jì)和陀螺儀搭建一個(gè)。
注：具體的代碼實(shí)現(xiàn)和算法測(cè)試，請(qǐng)閱讀這篇文章：
http://starlino.com/imu_kalman_arduino.html
在使用整合了加速度計(jì)和陀螺儀的IMU設(shè)備時(shí)，首先要做的就是統(tǒng)一它們的坐標(biāo)系。最簡(jiǎn)單的辦法就是將加速度計(jì)作為參考坐標(biāo)系。大多數(shù)的加速度計(jì)技術(shù)說(shuō)明書都會(huì)指出對(duì)應(yīng)于物理芯片或設(shè)備的XZY軸方向。例如，下面就是Acc Gyro板的說(shuō)明書中給出的XYZ軸方向：
接下來(lái)的步驟是：
- 確定陀螺儀的輸出對(duì)應(yīng)到上述討論的RateAxz，RateAyz值。
- 根據(jù)陀螺儀和加速度計(jì)的位置決定是否要反轉(zhuǎn)輸出值
不要設(shè)想陀螺儀陀的輸出有XY，它會(huì)適應(yīng)加速度計(jì)坐標(biāo)系里的任何軸，盡管這個(gè)輸出是IMU模塊的一部分。最好的辦法就是測(cè)試。
接下來(lái)的示例用來(lái)確定哪個(gè)陀螺儀的輸出對(duì)應(yīng)RateAxz。
- 首先將設(shè)備保持水平。加速度計(jì)的XY軸輸出會(huì)是零加速度電壓（Acc Gyro板的值是1.65V）
- 接下來(lái)將設(shè)備繞Y軸旋轉(zhuǎn)，換句話說(shuō)就是將設(shè)備在XZ平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所以X、Z的加速度輸出值會(huì)變化而Y軸保持不變。
-當(dāng)以勻速旋轉(zhuǎn)設(shè)備的時(shí)候，注意陀螺儀的哪個(gè)通道輸出值變化了，其他輸出應(yīng)該保持不變。
- 在陀螺儀繞Y軸旋轉(zhuǎn)（在XZ平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)）的時(shí)候輸出值變化的就是AdcGyroXZ，用于計(jì)算RateAxz
-最后一步，確認(rèn)旋轉(zhuǎn)的方向是否和我們的模型對(duì)應(yīng)，因?yàn)橥勇輧x和加速度的位置關(guān)系，有時(shí)候你可能要把RateAxz值反向
-重復(fù)上面的測(cè)試，將設(shè)備繞Y軸旋轉(zhuǎn)，這次查看加速度計(jì)的X軸輸出（也就是AdcRx）。如果AdcRx增大（從水平位置開始旋轉(zhuǎn)的第一個(gè)90°），那AdcGyroXZ應(yīng)當(dāng)減小。這是因?yàn)槲覀冇^察的是重力矢量，當(dāng)設(shè)備朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)時(shí)矢量會(huì)朝相反的方向旋轉(zhuǎn)（相對(duì)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)）。所以，如果你不想反轉(zhuǎn)RateAxz，你可以在公式3中引入正負(fù)號(hào)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：
RateAxz = InvertAxz * (AdcGyroXZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity ,其中InvertAxz= 1 或-1
同樣的方法可以用來(lái)測(cè)試RateAyz，將設(shè)備繞X軸旋轉(zhuǎn)，你就能測(cè)出陀螺儀的哪個(gè)輸出對(duì)應(yīng)于RateAyz，以及它是否需要反轉(zhuǎn)。一旦你確定了InvertAyz，你就能可以用下面的公式來(lái)計(jì)算RateAyz：
RateAyz = InvertAyz * (AdcGyroYZ * Vref / 1023 – VzeroRate) / Sensitivity
如果對(duì)Acc Gyro板進(jìn)行這些測(cè)試，你會(huì)得到下面的這些結(jié)果：
- RateAxz的輸出管腳是GX4，InvertAxz = 1
- RateAyz輸出管腳是GY4，InvertAyz = 1
從現(xiàn)在開始我們認(rèn)為你已經(jīng)設(shè)置好了IMU模塊并能計(jì)算出正確的Axr，Ayr，Azr值（在第一部分加速度計(jì)中定義）以及RateAyz，RateAyz（在第二部分陀螺儀中）。下一步，我們分析這些值之間的關(guān)系并得到更準(zhǔn)確的設(shè)備和地平面之間的傾角。
你可能會(huì)問(wèn)自己一個(gè)問(wèn)題，如果加速度計(jì)已經(jīng)告訴我們Axr，Ayr，Azr的傾角，為什么還要費(fèi)事去得到陀螺儀的數(shù)據(jù)？答案很簡(jiǎn)單：加速度計(jì)的數(shù)據(jù)不是100%準(zhǔn)確的。有幾個(gè)原因，還記加速度計(jì)測(cè)量的是慣性力，這個(gè)力可以由重力引起（理想情況只受重力影響），當(dāng)也可能由設(shè)備的加速度（運(yùn)動(dòng)）引起。因此，就算加速度計(jì)處于一個(gè)相對(duì)比較平穩(wěn)的狀態(tài)，它對(duì)一般的震動(dòng)和機(jī)械噪聲很敏感。這就是為什么大部分的IMU系統(tǒng)都需要陀螺儀來(lái)使加速度計(jì)的輸出更平滑。但是怎么辦到這點(diǎn)呢？陀螺儀不受噪聲影響嗎？
陀螺儀也會(huì)有噪聲，但由于它檢測(cè)的是旋轉(zhuǎn)，因此對(duì)線性機(jī)械運(yùn)動(dòng)沒那么敏感，不過(guò)陀螺儀有另外一種問(wèn)題，比如漂移（當(dāng)選擇停止的時(shí)候電壓不會(huì)回到零速率電壓）。然而，通過(guò)計(jì)算加速度計(jì)和陀螺儀的平均值我們能得到一個(gè)相對(duì)更準(zhǔn)確的當(dāng)前設(shè)備的傾角值，這比單獨(dú)使用加速度計(jì)更好。
接下來(lái)的步驟我會(huì)介紹一種算法，算法受卡爾曼濾波中的一些思想啟發(fā)，但是它更簡(jiǎn)單并且更容易在嵌入式設(shè)備中實(shí)現(xiàn)。在此之前，讓我們先看看我們需要算法計(jì)算什么值。所要算的就是重力矢量R=[Rx,Ry,Rz]，它可由其他值推導(dǎo)出來(lái)，如Axr，Ayr，Azr或者cosX，cosY，cosZ，由這些值我們能得到設(shè)備相對(duì)地平面的傾角值，這些關(guān)系我們?cè)诘谝徊糠忠呀?jīng)討論過(guò)。有人可能會(huì)說(shuō)-根據(jù)第一部分的公式2我們不是已經(jīng)得到Rx，Ry，Rz的值了嗎？是的，但是記住，這些值只是由加速度計(jì)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出來(lái)的，如果你直接將它們用于你的程序你會(huì)得到難以忍受的噪聲。為了避免進(jìn)一步的混亂，我們重新定義加速度計(jì)的測(cè)量值：
Racc – 是由加速度計(jì)測(cè)量到得慣性力矢量，它可分解為下面的分量（在XYZ軸上的投影）：
RxAcc = (AdcRx * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
RyAcc = (AdcRy * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
RzAcc = (AdcRz * Vref / 1023 – VzeroG) / Sensitivity
現(xiàn)在我們得到了一組只來(lái)自于加速度計(jì)ADC的值。我們把這組數(shù)據(jù)叫做“vector”，并使用下面的符號(hào)：
Racc = [RxAcc,RyAcc,RzAcc]
因?yàn)檫@些Racc的分量可由加速度計(jì)數(shù)據(jù)得到，我們可以把它當(dāng)做算法的輸入。
請(qǐng)注意Racc測(cè)量的是重力，如果你得到的矢量長(zhǎng)度約等于1g那么你就是正確的：
|Racc| = SQRT(RxAcc^2 +RyAcc^2 + RzAcc^2),
但是請(qǐng)確定把矢量轉(zhuǎn)換成下面的矢量非常重要：
Racc(normalized) = [RxAcc/|Racc| , RyAcc/|Racc| , RzAcc/|Racc|].
這可以確保標(biāo)準(zhǔn)化Racc始終是1。
接來(lái)下我們引進(jìn)一個(gè)新的向量：
Rest = [RxEst,RyEst,RzEst]
這就是算法的輸出值，它經(jīng)過(guò)陀螺儀數(shù)據(jù)的修正和基于上一次估算的值。
這是算法所做的事：
-加速度計(jì)告訴我們：“你現(xiàn)在的位置是Racc”
我們回答：“謝謝，但讓我確認(rèn)一下”
-然后根據(jù)陀螺儀的數(shù)據(jù)和上一次的Rest值修正這個(gè)值并輸出新的估算值Rest。
-我們認(rèn)為Rest是當(dāng)前設(shè)備姿態(tài)的“最佳值”。
讓我們看看它是怎么實(shí)現(xiàn)的。
數(shù)列的開始，我們先認(rèn)為加速度值正確并賦值：
Rest(0) = Racc(0)
Rest和Racc是向量，所以上面的式子可以用3個(gè)簡(jiǎn)單的式子代替，注意別重復(fù)了：
RxEst（0）= RxAcc（0）
RyEst（0）= RyAcc（0）
RzEst（0）= RzAcc（0）
接下來(lái)我們?cè)诿總�(gè)等時(shí)間間隔T秒做一次測(cè)量，得到新的測(cè)量值，并定義為Racc（1），Racc（2），Racc（3）等等。同時(shí)，在每個(gè)時(shí)間間隔我們也計(jì)算出新的估算值Rest（1）,Rest（2），Rest（3），等等。
假設(shè)我們?cè)诘趎步。我們有兩列已知的值可以用：
Rest(n-1) – 前一個(gè)估算值，Rest(0) = Racc(0)
Racc(n) – 當(dāng)前加速度計(jì)測(cè)量值
在計(jì)算Rest（n）前，我們先引進(jìn)一個(gè)新的值，它可由陀螺儀和前一個(gè)估算值得到。
叫做Rgyro，同樣它是個(gè)矢量并由3個(gè)分量組成：
Rgyro = [RxGyro,RyGyro,RzGyro]
我們分別計(jì)算這個(gè)矢量的分量，從RxGyro開始。
首先觀察陀螺儀模型中下面的關(guān)系，根據(jù)由Rz和Rxz組成的直角三角形我們能推出：
tan(Axz) = Rx/Rz => Axz = atan2(Rx,Rz)
你可能從未用過(guò)atan2這個(gè)函數(shù)，它和atan類似，但atan返回值范圍是（-PI/2,PI/2），atan2返回值范圍是（-PI，PI），并且他有兩個(gè)參數(shù)。它能將Rx，Rz值轉(zhuǎn)換成360°（-PI，PI）內(nèi)的角度。更多信息請(qǐng)閱讀 atan2.
所以，知道了RxEst（n-1）和RzEst（n-1）我們發(fā)現(xiàn)：
Axz(n-1) = atan2( RxEst(n-1) , RzEst(n-1) ).
記住，陀螺儀測(cè)量的是Axz角度變化率，因此，我們可以按如下方法估算新的角度Axz（n）：
Axz(n) = Axz(n-1) + RateAxz(n) * T
請(qǐng)記住，RateAxz可由陀螺儀ADC讀取得到。通過(guò)使用平均轉(zhuǎn)速可由得到一個(gè)更準(zhǔn)確的公式：
RateAxzAvg =（RateAxz（N）+ RateAxz（N-1））/ 2
Axz(n) = Axz(n-1) + RateAxzAvg * T
同理可得：
Ayz(n) = Ayz(n-1) + RateAyz(n) * T
好了，現(xiàn)在我們有了Axz（n），Ayz（n）。現(xiàn)在我們?nèi)绾瓮茖?dǎo)出RxGyro/RyGyro?根據(jù)公式1我們可以把Rgyro長(zhǎng)度寫成下式：
| Rgyro | = SQRT（RxGyro ^ 2 + RyGyro ^ 2 + RzGyro ^ 2）
同時(shí)，因?yàn)槲覀円呀?jīng)將Racc標(biāo)準(zhǔn)化，我們可以認(rèn)為它的長(zhǎng)度是1并且旋轉(zhuǎn)后保持不變，所以寫成下面的方式相對(duì)比較安全：
| Rgyro | = 1
我們暫時(shí)采用更短的符號(hào)進(jìn)行下面的計(jì)算：
x =RxGyro , y=RyGyro, z=RzGyro
根據(jù)上面的關(guān)系可得：
x = x / 1 = x / SQRT(x^2+y^2+z^2)
分子分母同除以SQRT（X ^ 2 + Z ^ 2）
x = ( x / SQRT(x^2 + z^2) ) / SQRT( (x^2 + y^2 + z^2) / (x^2 + z^2) )
注意x / SQRT(x^2 + z^2) = sin(Axz), 所以:
x = sin(Axz) / SQRT (1 + y^2 / (x^2 + z^2) )
將SQRT內(nèi)部分式的分子分母同乘以z^2
x = sin(Axz) / SQRT (1 + y^2 * z ^2 / (z^2 * (x^2 + z^2)) )
注意 z / SQRT(x^2 + z^2) = cos(Axz)， y / z = tan(Ayz), 所以最后可得:
x = sin(Axz) / SQRT (1 + cos(Axz)^2 * tan(Ayz)^2 )
替換成原來(lái)的符號(hào)可得：
RxGyro = sin(Axz(n)) / SQRT (1 + cos(Axz(n))^2 * tan(Ayz(n))^2 )
同理可得：
RyGyro = sin(Ayz(n)) / SQRT (1 + cos(Ayz(n))^2 * tan(Axz(n))^2 )
提示：這個(gè)公式還可以更進(jìn)一步簡(jiǎn)化。分式兩邊同除以sin（axz（你））可得：
RxGyro = 1 / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2 + cos(Axz(n))^2 / sin(Axz(n))^2 * tan(Ayz(n))^2 )
RxGyro = 1 / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2 + cot(Axz(n))^2 * sin(Ayz(n))^2 / cos(Ayz(n))^2 )
現(xiàn)在加減 cos(Axz(n))^2/sin(Axz(n))^2 = cot(Axz(n))^2
RxGyro = 1 / SQRT (1/ sin(Axz(n))^2 - cos(Axz(n))^2/sin(Axz(n))^2 + cot(Axz(n))^2 * sin(Ayz(n))^2 / cos(Ayz(n))^2 + cot(Axz(n))^2 )
綜合條件1、2和3、4可得：
RxGyro = 1 / SQRT (1 + cot(Axz(n))^2 * sec(Ayz(n))^2 ), 其中 cot(x) = 1 / tan(x) ， sec(x) = 1 / cos(x)
這個(gè)公式只用了2個(gè)三角函數(shù)并且計(jì)算量更低。如果你有Mathematica程序，通過(guò)使用 FullSimplify [Sin[A]^2/ ( 1 + Cos[A]^2 * Tan[B]^2)]你可以驗(yàn)證這個(gè)公式。
現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)：
RzGyro = Sign(RzGyro)*SQRT(1 – RxGyro^2 – RyGyro^2).
其中，當(dāng) RzGyro>=0時(shí)，Sign(RzGyro) = 1 , 當(dāng) RzGyro<0時(shí)，Sign(RzGyro) = -1 。
一個(gè)簡(jiǎn)單的估算方法：
Sign(RzGyro) = Sign(RzEst(n-1))
在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)心RzEst（n-1）趨近于0。這時(shí)候你可以跳過(guò)整個(gè)陀螺儀階段并賦值：Rgyro=Rest（n-1）。Rz可以用作計(jì)算Axz和Ayz傾角的參考，當(dāng)它趨近于0時(shí)，它可能會(huì)溢出并引發(fā)不好的后果。這時(shí)你會(huì)得到很大的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)，并且tan()/atan()函數(shù)得到的結(jié)果會(huì)缺乏精度。
現(xiàn)在我們回顧一下已經(jīng)得到的結(jié)果，我們?cè)谒惴ㄖ械牡趎步，并計(jì)算出了下面的值：
Racc – 加速度計(jì)讀取的當(dāng)前值
Rgyro –根據(jù)Rest(-1)和當(dāng)前陀螺儀讀取值所得
我們根據(jù)哪個(gè)值來(lái)更新Rest（n）呢？你可能已經(jīng)猜到，兩者都采用。我們會(huì)用一個(gè)加權(quán)平均值，得：
Rest(n) = (Racc * w1 + Rgyro * w2 ) / (w1 + w2)
分子分母同除以w1，公式可簡(jiǎn)化成：
Rest(n) = (Racc * w1/w1 + Rgyro * w2/w1 ) / (w1/w1 + w2/w1)
令w2=w1=wGyro，可得：
Rest(n) = (Racc + Rgyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
在上面的公式中，wGyro表示我們對(duì)加速度計(jì)和陀螺儀的相信程度。這個(gè)值可以通過(guò)測(cè)試確定，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值5-20之間會(huì)得到一個(gè)很好的結(jié)果。
此算法和卡爾曼濾波最主要的差別是它的權(quán)重是相對(duì)固定的，而卡爾曼濾波中的權(quán)重會(huì)隨著加速度計(jì)讀取的噪聲而改變。卡爾曼濾波注重給你一個(gè)“最好”的理論結(jié)果，而此算法給你的是實(shí)際項(xiàng)目中“夠用”的結(jié)果。你可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)算法，它能根據(jù)測(cè)量的噪聲而改變wGyro值，但對(duì)大部分應(yīng)用來(lái)說(shuō)固定的權(quán)重也能工作的很好。
現(xiàn)在得到最新的估算值還差一步：
RxEst(n) = (RxAcc + RxGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
RyEst(n) = (RyAcc + RyGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
RzEst(n) = (RzAcc + RzGyro * wGyro ) / (1 + wGyro)
現(xiàn)在，再次標(biāo)準(zhǔn)化矢量：
R = SQRT(RxEst(n) ^2 + RyEst(n)^2 + RzEst(n)^2 )
RxEst(n) = RxEst(n)/R
RyEst(n) = RyEst(n)/R
RzEst(n) = RzEst(n)/R
現(xiàn)在，可以再次進(jìn)行下一輪循環(huán)了。
注：關(guān)于此算法的具體實(shí)現(xiàn)和測(cè)試，請(qǐng)閱讀這篇文章：
http://starlino.com/imu_kalman_arduino.html
加速度計(jì)和陀螺儀IMU融合的其他資源：
http://www.mikroquad.com/pub/Res ... ryFilter/filter.pdf
http://stackoverflow.com/questio ... -accelerometer-data
http://www.dimensionengineering.com/accelerometers.htm
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